Premessa e ringraziamenti
Laureato in filosofia, insegnante al liceo di filosofia e storia, con alle spalle una maturità artistica e una passione per il disegno che risale all’infanzia, mi portavo dentro un desiderio, nato dall’incontro con varie persone, personaggi e testi – tra le quali voglio citare: mia zia Ida Sacchetti, la mia insegnante di matematica al liceo artistico Maura Lovisolo, il prof. Giulio Giorello all’Università Statale di Milano (di cui ricordo un corso su “Il pensiero matematico e l’infinito”), le opere di Escher, alcuni libri di Piergiorgio Odifreddi – di ri-studiare e farmi un’idea più approfondita della matematica.
Ringrazio Achille Varzi e Tullio Ceccherini-Silberstein che mi hanno dato, leggendo la prima versione di questo testo, suggerimenti preziosi su alcune direzioni nelle quali sviluppare il lavoro.
Inizio di recente la lettura del volume Che cos’è la matematica? (di Richard Courant e Herbert Robbins, nell’edizione Boringhieri riveduta da Ian Stewart) e la prima cosa che mi colpisce è la teoria dei numeri e in particolare la questione dei numeri primi, importanti per il fatto che «ogni numero intero può essere espresso come un prodotto di primi». Un numero primo è un numero intero positivo che è divisibile solo per se stesso e per l’unità. Si potrebbero quindi considerare i numeri primi come delle gemme preziose nel mare sconfinato dei numeri interi, o anche, come dei numeri fondamentali, che sono alla base di tutta la complessità della serie degli interi (complessità che a tutta prima non appare).
Alla domanda se i primi siano infiniti esiste già una risposta: sì, lo sono (lo ha dimostrato già Euclide). Un’altra conoscenza già acquisita (anche qui c’è una dimostrazione classica dovuta a Euclide) è questa (cito sempre dal libro di cui sopra):
"la scomposizione in fattori primi di un numero N è unica: ogni numero intero N maggiore di 1 può essere scomposto in modo unico in un prodotto di primi." [alla proposizione precedente, in corsivo, che si considera “il teorema fondamentale dell’aritmetica” va aggiunto, per completezza, “a meno dell’ordine”, cioè il modo è “unico” prescindendo dall’ordine nel quale si presentino i primi.]
La questione che ha acceso la mia immaginazione e la mia curiosità è quella della distribuzione dei numeri primi.
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131…
C’è una legge da cui dipenda la distribuzione dei primi?
Con il cosiddetto “crivello di Eratostene” si possono costruire tavole di tutti i numeri primi minori di un dato numero N (si scrivono tutti gli interi minori di N e poi si eliminano tutti i multipli di 2, poi tutti i multipli di 3 e così via fino a eliminare tutti i numeri “composti”, cioè non primi). Esistono tavole complete di numeri primi fino a 10.000.000, «che ci forniscono una quantità enorme di dati empirici intorno alla distribuzione e alle proprietà dei numeri primi. Sulla base di queste tavole si possono formulare molte ipotesi (come se la teoria dei numeri fosse una scienza sperimentale) del tutto plausibili, ma spesso estremamente difficili da dimostrare.» Si sono fatte congetture su semplici formule aritmetiche che diano solo numeri primi e si è arrivati alla formulazione di un teorema sulla distribuzione media dei primi tra i numeri interi.
Gauss ha formulato l’ipotesi che la “densità” dei primi minori di un certo numero n sia approssimativamente uguale a 1/log n, e questa approssimazione migliora col crescere di n. Se ho ben capito, più grande è il numero degli interi considerati, via via più piccolo sarà il numero dei primi contenuti in esso. Questo è chiamato “teorema dei numeri primi”, e la dimostrazione è arrivata dopo Gauss, con altri matematici che non sto qui a citare.
La distribuzione dei singoli primi tra gli interi è estremamente irregolare. Ma questa irregolarità individuale o, come anche si dice, “in piccolo”, sparisce se si concentra l’attenzione sulla distribuzione media dei primi.
Mi pare, ma anche qui mi rendo conto che potrei non sapere molte cose, che lo studio sulla densità dei primi (via via considerando numeri sempre maggiori) abbia in qualche modo fatto superare l’indagine su questa irregolarità fine nella distribuzione, e questo ha stimolato la mia attenzione. Sento un contrasto tra il fatto che i numeri primi siano i numeri fondamentali e il fatto che la loro distribuzione fine sia del tutto irregolare. Mi sembra ci sia un’analogia tra il fatto che esistono leggi fisiche deterministiche per il mondo medio e macro, mentre nelle particelle elementari sembri regnare più il caos o, comunque, l’indeterminazione… Struttura nel grande e assenza di struttura nel piccolo? Come è possibile?
Un indizio che ha stimolato ulteriormente la mia curiosità sono state queste due frasi:
«Si è osservato che i numeri primi si presentano frequentemente in coppie della forma p e p + 2, come 3 e 5, 11 e 13, 29 e 31 ecc. Si ritiene corretta l’ipotesi che esistano infinite coppie fatte così, ma finora non si è compiuto il minimo passo verso una dimostrazione.»
A questo punto ho pensato di tentare un’indagine visuale sulla “distribuzione fine” dei primi, procedendo in questo modo.
Consideriamo la tavola di tutti i numeri primi minori di 10.000
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