Sovreccitato dall'impressione di avere scoperto un nuovo paradosso logico-matematico, ed avendolo poi riformulato in modo ancora più preciso attraverso una Biblioteca di Babele fatta solo di caratteri numerici, virgola e spazio, scrivo ad Achille Varzi per avere un parere, ricordandomi che anche lui si era occupato, in un suo saggio breve, delle implicazioni filosofiche del racconto di Borges.
Con la sua mente velocissima, Achille si è prontamente messo a pensare e mi ha risposto.
Riporto qui il nostro carteggio, per mostrare come Varzi sia riuscito ad individuare l'inghippo, il nodo che originava l'impressione paradossale.
Ringrazio anche qui il prof. Varzi per il suo prezioso contributo, e per la gentilezza mostratami nel concedermi senza problemi di pubblicare lo scambio di mail.
Caro Giulio,
Grazie per la gentile risposta. In effetti ci sono due questioni da considerare.
– La prima è quella a cui facevo riferimento io, che in sostanza si risolve nel fatto che nella Biblioteca bisogna stare attenti a non confondere tra volumi e libri. I primi sono in numero enorme ma finito, dato che sono semplici combinazioni di lunghezza prefissata (finita) di un insieme finito di simboli. I secondi, invece, nella misura in cui un libro può richiedere più di un volume, sono in numero infinito, dato che non c’è limite alle sequenze finite di volumi (con possibili ripetizioni) che si possono considerare. Questa distinzione tra volumi e libri vale in generale nella Biblioteca di Babele, ed è per questo che forse si può davvero dire che la Biblioteca contiene tutti i libri possibili nonostante contenga soltanto un (enorme) numero finito di volumi.
– La seconda questione riguarda la distinzione tra serie ordinate e disordinate su cui giustamente lei richiama l’attenzione. Nell’esempio che facevo io, avevamo una sequenza di tre libri dove il terzo era identico al primo: j_1 . . . j_n k_1 . . . k_n j_1 . . . j_n (dove n è il numero totale dei caratteri di un volume). Ora, questo è semplicemente un libro in tre volumi che contiene un certo numero. Non è detto che figuri nella sequenza infinita dei volumi che contengono la serie dei numeri naturali nel giusto ordine. (È molto improbabile che lo sia, cioè è improbabile che il numero precedente termini proprio alla fine dell’ultima pagina dell'ultimo volume del libro precedente.) Tuttavia resta il fatto che libri del genere devonoper forza di cose figurare in quella sequenza infinita.
Per esempio: supponiamo per estrema semplicità che ogni volume consista di un’unica pagina di un’unica riga di due caratteri. Allora la serie che cerchiamo sarà composta dai seguenti volumi:
0,
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10
,1
1,
12
,1
3,
14
,1
5,
16
,1
7,
18
,1
9,
20
.
.
.
Come vede, i volumi ripetuti sono tanti!
Mi dispiace che la mia risposta non abbia confermato la scoperta del paradosso, ma spero davvero che le possa essere utile (e se vuole citare questo scambio, lo faccia pure senza problemi).
Un cordiale saluto,
Achille