Sovreccitato dall'impressione di avere scoperto un nuovo paradosso logico-matematico, ed avendolo poi riformulato in modo ancora più preciso attraverso una Biblioteca di Babele fatta solo di caratteri numerici, virgola e spazio, scrivo ad Achille Varzi per avere un parere, ricordandomi che anche lui si era occupato, in un suo saggio breve, delle implicazioni filosofiche del racconto di Borges.
Con la sua mente velocissima, Achille si è prontamente messo a pensare e mi ha risposto.
Riporto qui il nostro carteggio, per mostrare come Varzi sia riuscito ad individuare l'inghippo, il nodo che originava l'impressione paradossale.
Ringrazio anche qui il prof. Varzi per il suo prezioso contributo, e per la gentilezza mostratami nel concedermi senza problemi di pubblicare lo scambio di mail.
Caro Giulio,
Grazie! In effetti, appena ricevuta la sua prima mail, ho cominciato a pensare. La nuova versione del paradosso, in termini di serie di numeri, sembra anche a me più efficace di quella che presentava qualche anno fa, in termini di volumi dedicati alla narrazione della storia dell’universo. (Un volume per secolo, la biblioteca contiene solo un numero finito n di volumi, ma certamente ci sarà anche un secolo n+1.ecc.)
Vedo tuttavia un problema, che nasce dal fatto che tutti volumi sono di una lunghezza prefissata. Lei infatti scrive giustamente:
Dobbiamo naturalmente pensare che alcuni numeri saranno così lunghi da scrivere che occuperanno più di un'intero volume, ma questo non è un problema, se ipotizziamo che un numero non lo consideriamo concluso se non è seguito da virgola e spazio, e se un volume si conclude con un carattere numerico e il successivo volume inizia con un carattere numerico dobbiamo considerare che il numero espresso sta "a cavallo" dei due volumi.
In un certo senso, sono d’accordo che la necessità di ricorrere a più volumi non è un problema. Ma lo diventa (ai fini dell’esistenza o meno di un vero paradosso) non appena consideriamo che in certi casi i volumi necessari per esprimere un determinato numero si dovranno ripetere. Mi spiego. Siano j e k due numeri la cui scrittura richiede un volume esatto a testa e sia n un numero la cui scrittura richiede che si scriva j seguito da k seguito nuovamente da j. Evidentemente, avremo bisogno di tre volumi per scrivere il numero n. Ma il terzo volume e il primo saranno identici, cioè, saranno lo stesso volume. Questo semplice esempio illustra in modo chiaro che quando parliamo di numeri espressi “a cavallo” di due o più volumi davvero dobbiamo considerare tutte le *sequenze* di volumi nella biblioteca. E quante sono le sequenze finite di volumi nella biblioteca? Se i volumi presenti in biblioteca sono in numero finito, gli *insiemi* di volumi sono in numero finito, ma le loro *sequenze* (eventualmente con ripetizioni) sono in numero infinito. E se le cose stanno così, allora non c’è paradosso...
Comunque continuo a pensarci!
Un caro saluto,
Achille
La ringrazio tantissimo per questa risposta, intanto per la velocità!
E complimenti anche per come sia riuscito velocemente a trovare un problema serio, che rende (anche se anch’io voglio capire meglio e continuerò a pensarci…!) la questione un paradosso apparente.
Si tratterebbe, in altri termini, se ho ben compreso, di considerare i volumi della Biblioteca come un numero finito di pezzi di un puzzle.
Immaginiamo di poter scrivere la sequenza infinita dei numeri naturali e poi di spezzarla in “pezzi” uguali di n caratteri (dove n è il numero totale dei caratteri di un volume standard della Biblioteca). Il fatto che ciascun “pezzo-volume” sia contenuto nella Biblioteca vuol solo dire che ce ne saranno alcuni (ma quanti? Non certo tutti, perché moltissimi volumi presentano serie disordinate, per es. “8765, 23456789, 123432142345678, …..”) che vengono ripetuti x volte (infinite volte?).
Non so se ha visto che in nell’ultima versione ho poi aggiunto un ultimo pezzo: “Paradosso nel paradosso”:
Ulteriore paradosso nel paradosso: i volumi della serie ordinata dei numeri naturali, in un certo senso, sembrerebbero dover essere di meno dei volumi totali della Biblioteca, perché i volumi totali contengono anche tutti quelli composti da cifre in totale disordine, quindi molti di più di quei pochi (ma infiniti!) volumi ordinati della serie.
C’è infatti anche questa complicazione in più: che i volumi “ordinati” e “ordinabili”, in teoria, sembrerebbero dover essere di meno di quelli disordinati…
Un vero pasticcio… ma penso che la cosa si possa rendere più pensabile se si restringono via via i “pezzi” del puzzle a formati molto più brevi. Proverò a pensarci in questo modo, e se viene fuori qualcosa di interessante le faccio sapere.
Un saluto, con grande stima e riconoscenza
Giulio
Caro Giulio,
Grazie per la gentile risposta. In effetti ci sono due questioni da considerare.
– La prima è quella a cui facevo riferimento io, che in sostanza si risolve nel fatto che nella Biblioteca bisogna stare attenti a non confondere tra volumi e libri. I primi sono in numero enorme ma finito, dato che sono semplici combinazioni di lunghezza prefissata (finita) di un insieme finito di simboli. I secondi, invece, nella misura in cui un libro può richiedere più di un volume, sono in numero infinito, dato che non c’è limite alle sequenze finite di volumi (con possibili ripetizioni) che si possono considerare. Questa distinzione tra volumi e libri vale in generale nella Biblioteca di Babele, ed è per questo che forse si può davvero dire che la Biblioteca contiene tutti i libri possibili nonostante contenga soltanto un (enorme) numero finito di volumi.
– La seconda questione riguarda la distinzione tra serie ordinate e disordinate su cui giustamente lei richiama l’attenzione. Nell’esempio che facevo io, avevamo una sequenza di tre libri dove il terzo era identico al primo: j_1 . . . j_n k_1 . . . k_n j_1 . . . j_n (dove n è il numero totale dei caratteri di un volume). Ora, questo è semplicemente un libro in tre volumi che contiene un certo numero. Non è detto che figuri nella sequenza infinita dei volumi che contengono la serie dei numeri naturali nel giusto ordine. (È molto improbabile che lo sia, cioè è improbabile che il numero precedente termini proprio alla fine dell’ultima pagina dell'ultimo volume del libro precedente.) Tuttavia resta il fatto che libri del genere devonoper forza di cose figurare in quella sequenza infinita.
Per esempio: supponiamo per estrema semplicità che ogni volume consista di un’unica pagina di un’unica riga di due caratteri. Allora la serie che cerchiamo sarà composta dai seguenti volumi:
0,
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10
,1
1,
12
,1
3,
14
,1
5,
16
,1
7,
18
,1
9,
20
.
.
.
Come vede, i volumi ripetuti sono tanti!
Mi dispiace che la mia risposta non abbia confermato la scoperta del paradosso, ma spero davvero che le possa essere utile (e se vuole citare questo scambio, lo faccia pure senza problemi).
Un cordiale saluto,
Achille
Grazie per la gentile risposta. In effetti ci sono due questioni da considerare.
– La prima è quella a cui facevo riferimento io, che in sostanza si risolve nel fatto che nella Biblioteca bisogna stare attenti a non confondere tra volumi e libri. I primi sono in numero enorme ma finito, dato che sono semplici combinazioni di lunghezza prefissata (finita) di un insieme finito di simboli. I secondi, invece, nella misura in cui un libro può richiedere più di un volume, sono in numero infinito, dato che non c’è limite alle sequenze finite di volumi (con possibili ripetizioni) che si possono considerare. Questa distinzione tra volumi e libri vale in generale nella Biblioteca di Babele, ed è per questo che forse si può davvero dire che la Biblioteca contiene tutti i libri possibili nonostante contenga soltanto un (enorme) numero finito di volumi.
– La seconda questione riguarda la distinzione tra serie ordinate e disordinate su cui giustamente lei richiama l’attenzione. Nell’esempio che facevo io, avevamo una sequenza di tre libri dove il terzo era identico al primo: j_1 . . . j_n k_1 . . . k_n j_1 . . . j_n (dove n è il numero totale dei caratteri di un volume). Ora, questo è semplicemente un libro in tre volumi che contiene un certo numero. Non è detto che figuri nella sequenza infinita dei volumi che contengono la serie dei numeri naturali nel giusto ordine. (È molto improbabile che lo sia, cioè è improbabile che il numero precedente termini proprio alla fine dell’ultima pagina dell'ultimo volume del libro precedente.) Tuttavia resta il fatto che libri del genere devonoper forza di cose figurare in quella sequenza infinita.
Per esempio: supponiamo per estrema semplicità che ogni volume consista di un’unica pagina di un’unica riga di due caratteri. Allora la serie che cerchiamo sarà composta dai seguenti volumi:
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Come vede, i volumi ripetuti sono tanti!
Mi dispiace che la mia risposta non abbia confermato la scoperta del paradosso, ma spero davvero che le possa essere utile (e se vuole citare questo scambio, lo faccia pure senza problemi).
Un cordiale saluto,
Achille
