"Frammenti epistemologici" di Giovanni Piana

Si tratta di un libro pubblicato da Giovanni Piana quest'anno (2015) sia in versione a stampa (Lulu.com) sia in versione on line, scaricabile gratuitamente (come tutte le sue opere contenute nell'Archivio) seguendo il seguente link:

Frammenti epistemologici

Pur avendone letto solo alcune parti, ho voluto subito presentarlo nel mio blog per condividere il senso di enorme ricchezza tematica, profondità e allo stesso tempo libertà, acutezza e lucidità che la lettura di queste pagine provoca al lettore.

Per dare un'idea, propongo qui sotto l'Indice e, di seguito, un estratto dalla parte terza.

Nota introduttiva

I. Sullo spazio

Pratiche della spazialità

Lo spazio e le cose

La figura e l’estensione

Lo spazio e l’aperto

Idealizzazioni

Spazio geometrico e spazio del mondo

Lobacevsky
Ordo rerum
Cose, relazioni, luoghi 

Geometria e analysis situs

Spazio assoluto

Generalizzazione 

II. Immaginare e raffigurare lo spazio  

Una piramide nel deserto

Immaginare e raffigurare lo spazio

Il simbolismo degli aspetti

III. Sui quattro bellissimi corpi

Geometria e mito
La maternità dello spazio
Il grande animale
Le quattro materie primigenie
Schema dell’interpretazione platonica
Il problema della triangolazione
La riduzione al triangolo “platonico”
La bellezza del triangolo platonico
Il triangolo platonico e il triangolo equilatero

Le trasformazioni reciproche
Il cubo, ovvero la terra
Fuoco aria acqua. Il pesante e il leggero

Ragionamenti bastardi
Il dodecaedro ovvero della totalità 

IV. Sul numero e su altri argomenti

Incommensurabilità e numeri irrazionali

Convenzioni ed evidenze
Ordine e concatenazione
Simbolismi 

Logica e linguaggio corrente

Numero e tempo
Rigore
Teoria e storia 

V. Intuizione e costruzione

Intuizione

Costruzione 

Intuizione ed evidenza
Intuitività dell’oggetto e comprensibilità della regola per la sua costruzione 

VI. L’aritmetica prima dell’aritmetica 

La fortuna e la sfortuna della Filosofia dell’aritmetica

I compiti di una filosofia dell’aritmetica secondo Husserl

Il numero come concetto aperto
Il luogo del problema 

Numero e molteplicità
Rappresentazione diretta e rappresentazione simbolica del numero

Problematica dei numeri immaginari
Lo zero e l’uno
Le operazioni pre-aritmetiche
L’invenzione dell’aritmetica
Il metodo logico dell’aritmetica
Aritmetica e arte del calcolo
Il problema della computabilità 

VII. L’aritmetica senza l’astrazione 

Il grande pensiero di Frege
Il numero si enuncia di un concetto
Numeri e astrazione
Equinumerosità e corrispondenza biunivoca
Numero e relazione
Definizione per astrazione?
Il metodo definitorio di Frege non ha a che vedere con l’astrazione
Una conferma tratta da Russell 

VIII. Sull’idea di “Fisica ingenua” in Paolo Bozzi 

IX.  È giusto parlare di “Intelligenza artificiale” 

X.  Appendici

Esempi di impiego di procedure realizzate con il programma Mathematica

Avvertenza

1. Procedure formali per la successione dei numeri naturali
2. Procedure per realizzare un linguaggio L-systems
3. Procedure di calcolo per il “triangolo di Sarngadeva”
4. Procedure per la realizzazioni di “flussi sonori” 

Il dodecaedro ovvero della totalità 

– Vi è un solido regolare di cui non abbiamo affatto parlato, se non di sfuggita all’inizio e proprio per metterlo da parte: il dodecaedro.

– In realtà alcune cose meritano proprio di essere dette. Come abbiamo notato all’inizio le materie primigenie sono quattro; i solidi regolari sono invece cinque. Uno di essi doveva restare escluso oppure avere una posizione a parte. Per di più il dodecaedro rappresenta a sua volta un caso speciale ed unico tra i solidi regolari. Le sue dodici facce sono pentagoni regolari. Naturalmente si possono effettuare triangolazioni in un pentagono, ma è impossibile realizzare una triangolazione in triangoli equilateri e conseguentemente in triangoli rettangoli scaleni del tipo previsto da Platone. Tuttavia il dodecaedro ci riserva qualche sorpresa. 

– La prima sorpresa, che forse non è del tutto pertinente allo sviluppo del nostro tema principale, è il fatto che tracciando le diagonali del pentagono, nel suo interno otteniamo ciò che è stato chiamato pentagono stellato (detto anche pentalfa, pentagramma o triplon trigonon). 

  

Ma all’interno della figura si ripresenta nuovamente il pentagono, e dunque tracciando le sue diagonali otterremo un nuovo pentagono stellato con all’interno di esso un nuovo pentagono, sic ad infinitum. La regola di costruzione – di cui ho trattato abbastanza a lungo altrove (Piana, 1999) – è in effetti una regola ricorsiva. Questo è un aspetto di grande interesse della figura che non era certo ignoto ai pitagorici, i cui “numeri figurati” hanno carattere ricorsivo. Ed è inutile dire che anche questo aspetto contribuì alla pregnanza simbolica della figura. 

– Ma la seconda sorpresa, questa strettamente pertinente alla nostra discussione, è che vi è una modalità di suddivisione del pentagono che ci riporta al triangolo platonico: mentre nel caso del triangolo equilatero ottenevamo i sei triangoli platonici tracciando le altezze che coincidono in questo caso con le mediane, nel caso del dodecaedro possiamo ottenere i triangoli platonici usando sia le cinque mediane che congiungono un vertice con il punto medio dei lati opposti sia le cinque diagonali che con- giungono vertici non consecutivi. La figura che ne risulta è la seguente:  

In realtà si tratta di 30 triangoli platonici – ed essendo dodici le facce si giunge quindi a 360 triangoli (Boyer, 1995, p. 103). Un numero che converrà ricordare. 

– Il dodecaedro non solo era noto ai primi pitagorici come poliedro regolare, insieme al cubo ed al tetraedro, ma aveva anche per essi, proprio per la ricchezza di relazioni che esibiva, un particolare valore simbolico al punto da diventare emblema della setta. E naturalmente non lo avevano trovato per strada. Si è costretti talvolta a difendere la speculazione filosofica da una malintesa empiria più di quanto sarebbe necessario persino a lume di buon senso. Così vi è chi attribuisce la conoscenza del dodecaedro da parte pitagorica all’esistenza di miniere di pirite in Sicilia «un minerale di zolfo che cristallizzandosi assume la forma del pentagono dodecaedro, che è un poliedro non regolare, ma con struttura del tutto analoga a quella del dodecaedro. Nel pentagono dodecaedro ciascuna delle dodici facce è un pentagono con quattro lati eguali tra loro e uno di diversa lunghezza. A parte questa leggera irregolarità il cristallo di pirite costituisce un ottimo modello in natura di un dodecaedro. L’osservazione di questa forma di cristallizzazione potrebbe aver suggerito ai matematici della scuola di Pitagora l’idea di costruire un solido analogo, ma con tutte le caratteristiche della regolarità» (Gario, 1979). Anche Rivaud dà credito all’origine “empirica” e casuale del dodecaedro rammentando che non sono rare le pietre in forma di dodecaedro e che ciò spiegherebbe addirittura come mai questa forma era nota ai pitagorici, insieme al cubo ed al tetraedro, mentre l’ottaedro e l’icosaedro sarebbero una più tarda scoperta di Teeteto (Rivaud, 1985, p. 82). 

– Fu così che, durante una passeggiata, in un caldo pomeriggio d’estate, un filosofo pitagorico vide sul sentiero polveroso un dodecaedro... 

– Lasciando al loro destino queste favole, e occupandoci invece di favole cariche di filosofia, ritorniamo a Platone. Che cosa egli dice del dodecaedro? Egli dice semplicemente: «Restava una quinta combinazione e il dio se ne giovò per decorare l’universo» [55c]. 

– Sembra a tutta prima un brillantissimo escamotage: non sapendo come adattare questo solido “in più” all’interno della teoria, ecco che lo poniamo come una sorta di ghirlanda dell’universo! Molti commenti si accontentano di questa spiegazione. Ma in realtà le cose non stanno esattamente così – o meglio: se si tratta di un escamotage, esso è tuttavia ancora in grado di dirci qualcosa e di completare e di confermare il quadro teorico. Ciò su cui deve cadere l’accento infatti non è tanto l’idea dell’ornamento, ma il riferimento all’universo, cioè alla totalità stessa. In effetti il testo greco dice to pan, parla proprio del tutto, tradurre “l’universo” è tendenzialmente fuorviante. Distoglie l’attenzione dall’idea di trovare nel solido atipico un’immagine per la totalità. Mentre per ogni elemento viene individuato un singolo solido che viene pensato come suddiviso, il solido eccedente è portato a simbolizzare la totalità del mondo come totalità – rendendo conto così anche della ricchezza di significato che la tradizione pitagorica (a cui Platone si sente spesso vicino) dava al pentagono e al dodecaedro stesso. 

– Del resto vi è una discussione intorno alla traduzione del verbo greco  ζωγραφεῖν che qui abbiamo reso con decorare, traduzione che è particolarmente frequente e che non si può dire erronea. Come osserva Kotrc, in un notevole saggio interamente dedicato al dodecaedro nel Timeo: «the basic meaning of ζωγραφεῖν is to paint from life (Republic, 598 B); an extension of this meaning is to adorn (as with paint» (1981, p. 213). Ma lo stesso autore mostra in modo convincente con diverse citazioni interne ai testi platonici che lo stesso verbo può significare “delineare, tracciare i confini”, e che questa traduzione sarebbe più appropriata. 

– In effetti con essa ci approssimiamo ancor più alla spiegazione che questa relazione in ogni caso richiede. Ancora una volta geometria e mito confluiscono insieme. Come i poligoni regolari possono essere inscritti in un cerchio, ed anzi da questa possibilità deriva un metodo per la loro costruzione, così i poliedri regolari possono essere inscritti in una sfera. Ora, come spiega Taylor, nel suo dettagliatissimo commento al Timeo «dei cinque solidi inscritti in una e medesima sfera, il dodecaedro ha il massimo volume e arriva quasi a coincidere con la sfera, oltre al fatto di esserle simile nella forma» (Taylor, 1928, pp. 377– 378). Altrove lo stesso Taylor rammenta che, secondo una concezione di origine pitagorica, «ai fini della descrizione astronomica si ri- partiva la sfera celeste dividendola in dodici regioni pentagonali, proprio come una palla di cuoio si fa cucendo insieme dodici pezzi pentagonali di cuoio» (Taylor, 1968, p. 708). 

– Infine: non vi è forse in quei 360 triangoli rettangoli scaleni un riferimento aritmetico che si ci riporta alla geometria della circonferenza e della sfera come immagini della totalità? È infatti estremamente seducente pensare che in questo numero di 360 sia in qualche modo implicata la nozione di grado come misura degli archi – misura in realtà antichissima che risale ai babilonesi e che è nota anche in Grecia (intorno al 200 a.C.). Con idee come queste andiamo ancora una volta indiscutibilmente al di fuori della lettera del testo platonico. Non invece, a quanto sembra, dal suo spirito