L'infinito non è di questo mondo.

a Franca D’Agostini

«Porre un limite all'infinito è un tema ricorrente nella fisica moderna. [...] molto spesso, ciò che appare infinito non è altro che qualcosa che non abbiamo ancora capito o contato. [...] "Infinito", in fondo, è solo il nome che diamo a ciò che ancora non conosciamo. La Natura sembra dirci, quando la studiamo, che non c'è nulla, alla fine, di davvero infinito. [...] L'unica cosa davvero infinita è la nostra ignoranza.»

C. Rovelli, La realtà non è come ci appare, Milano 2014

1. Il paradosso della Biblioteca di Babele

La biblioteca di Babele è un famoso e straordinario racconto di Jorge Luis Borges. Vi si narra di una biblioteca talmente vasta da costituire un universo. La biblioteca risulta essere composta da un numero sterminato di volumi, talmente alto da sembrare infinito, ma tale numero non è infinito, in quanto si tratta di tutte le possibili combinazioni di 25 caratteri (22 lettere, la virgola, il punto e lo spazio) in volumi costituiti da 410 pagine, ciascuna con 40 righe e 40 caratteri per riga (quale sia effettivamente tale numero è stato calcolato da Achille Varzi nello scritto Il libraio, lo scrittore e la    biblioteca di Babele). Alla fine del racconto il narratore ipotizza che la biblioteca sia infinita, ma semplicemente nel senso che la sterminata serie di volumi potrebbe ripetersi ciclicamente infinite volte.

Tale biblioteca contiene "tutto ciò che è dato esprimere, in tutte le lingue”. Togliamo la questione degli innumerevoli e preponderanti volumi privi di senso, con accozzaglie mostruose di lettere, togliamo per ipotesi anche i volumi ibridi, con frammenti di senso che navigano in mari di "insensate cacofonie" (temi su cui peraltro è imperniato gran parte dello sviluppo narrativo). Consideriamo solo i volumi sensati. Ci troviamo comunque di fronte a un'idea paradossale: la quantità di cose esprimibili non è infinita!

Ciò significa, ad esempio, che le opere d'arte che è possibile scrivere sono un numero finito, quindi che alla lunga la letteratura sarà destinata a finire, a meno di non doversi ripetere, ma anche che le teorie scientifiche possibili non sono infinite, quindi a un certo punto la ricerca avrà un termine perché avremo scoperto tutto quello che c'era da scoprire.

E la storia? Sembrerebbe che finché la storia va avanti, i libri che la raccontano debbano essere sempre diversi, ma allora? Dobbiamo concludere che siccome la quantità di cose che possiamo esprimere è finita allora anche la storia debba interrompersi? Qui arriviamo al vero paradosso: ipotizziamo di prendere solo i libri di storia della biblioteca di Babele. Sono tantissimi, ma un numero finito. Ipotizziamo che ogni volume racconti la storia di un secolo, e che la storia non si ripeta mai ma sia sempre diversa. Si può argomentare così: per quanto grande, il numero dei volumi di storia della biblioteca di Babele sarà n, corrispondente a n secoli. Ma la storia potrebbe durare n+1 secolo. Il volume che descrive quel secolo n+1 non è contenuto nella biblioteca. Chiediamoci però: il volume che descrive il secolo n+1 non è comunque composto di caratteri come gli altri? Se la biblioteca contiene tutte le combinazioni possibili dei caratteri non dovrebbe contenere anche quel volume?

In altri termini, il paradosso consiste nella contraddizione tra l’idea che la quantità di cose esprimibili sia finita e l’idea che il tempo, inteso come la storia dell’universo, sia infinito.

Il contrasto di fondo, che produce il paradosso, risiede nella finitezza della Biblioteca rispetto alla presumibile infinità di cose/eventi che possono essere descritti, espressi, narrati, teorizzati

2. Conseguenze cosmologiche del paradosso

Sostengo che riguardo alla storia dell'universo siano possibili solo due ipotesi:

1) che abbia avuto un inizio e che avrà una fine,

2) che si ripeta ciclicamente.

Per un ragionamento che abbozzo più avanti, ritengo molto più probabile la prima delle due ipotesi.

E' da escludersi, invece, secondo un ragionamento che parte dal paradosso della Biblioteca di Babele, che:

3) abbia avuto un inizio e che possa svolgersi in futuro in modo sempre diverso all'infinito,

4) che non abbia avuto un inizio e che si estenda all'infinito nelle due direzioni (all'indietro e in avanti) in modo costantemente variante.

L'argomento parte dall’idea che la quantità di cose esprimibili non sia infinita. Non sono infinite, quindi, le descrizioni vere che corrispondono agli eventi della storia dell'universo. Facciamo l'ipotesi che per ogni galassia esistano 24000 miliardi di volumi che ne descrivano in modo veritiero l'evoluzione, la storia, entrando nel dettaglio delle stelle e dei pianeti più significativi (nel caso in cui su uno o più pianeti si sia sviluppata la vita ammettiamo pure che vi sia un supplemento di 36000 miliardi di volumi per ciascun pianeta, nei quali vengono descritte le varie specie e la loro evoluzione, la storia delle loro civiltà e così via). Per quanto sia enormemente grande il numero di questi volumi, sarà sempre un numero finito n (Certo, a meno che il numero delle galassie non sia infinito. Ciò aprirebbe un ulteriore paradosso rispetto alla finitezza delle cose esprimibili…). Rispetto all'idea che la storia di ogni galassia possa essere più lunga rispetto a quanto narrato in quei 24000 miliardi di volumi vale il paradosso che abbiamo già esposto: ammettiamo che vada oltre, non sarà comunque descrivibile? Se è descrivibile rientrerà nel numero finito delle cose esprimibili. Quindi forse saranno necessari più volumi, ma non potranno mai essere infiniti volumi. Dal paradosso si esce quindi solo con due ipotesi: o la storia dell'universo è finita, o si ripete ciclicamente uguale (se fosse ciclica ma ogni volta diversa non sarebbe in realtà ciclica). Questa seconda ipotesi, però, appare altamente improbabile: lo studio dei fenomeni naturali mostra come la contingenza sia sovrana, quando si parla di successioni storiche, con un prima e un poi. Non resta dunque che l'ipotesi 1 come la più probabile.

3. Obiezioni e risposte

Una filosofa che stimo molto, alla quale ho sottoposto il paradosso subito dopo averlo “scoperto”, ha obiettato che le lingue nelle quali sono scritti i testi della Biblioteca sono in realtà entità a loro volta storiche (quindi ciò introdurrebbe una variabile tempo che renderebbe il numero dei volumi della Biblioteca non determinabile).

Ma ipotizziamo che le lettere di un alfabeto (poco importa se siano 21, 26 o altro numero) rappresentino in maniera sufficientemente efficace tutti i suoni che l'apparato vocale umano è in grado di produrre (parliamo di specie umana: certo si può dire che anche la specie umana è in evoluzione e in futuro i suoni producibili potrebbero essere diversi, ma allora direi che comunque la gamma dei suoni producibili in futuro non dovrebbe essere infinita...).

Bene. A questo punto anche le variazioni lessicali, grammaticali, sintattiche prodotte dal mutare storico delle lingue vengono "catturate" dall'ipotesi dell'insieme di tutte le possibili combinazioni di questo numero finito di caratteri moltiplicato esponenzialmente per il numero di caratteri per riga, righe per pagina eccetera. A un certo punto nasce una parola nuova? E' sicuramente già presente nella Biblioteca. Nasce una nuova forma grammaticale? Anche per questa vale lo stesso discorso.

Il punto è che se una forma linguistica è possibile (pronunciabile) allora esiste nella Biblioteca.

Altra obiezione potrebbe essere: perché i volumi devono avere 410 pagine e non di più, o di meno? Risponderei che occorre pensare a un numero sufficientemente alto di pagine per volume perché tale numero costituisce l'ampiezza dell'unità di senso che va ipotizzata se vogliamo parlare di opere d'arte, opere scientifiche eccetera. I due numeri importanti, per formulare il paradosso, sono il numero dei caratteri dell'alfabeto e il numero delle pagine per volume: è importante solo che siano numeri finiti e che corrispondano più o meno alla realtà degli alfabeti naturali e dei volumi nei quali solitamente si esprime l'ingegno umano, ma non è importante ovviamente di quali numeri si tratti.

Un'altra obiezione: un'opera potrebbe richiedere più volumi (ad esempio la Recherche di Proust). Possiamo sempre immaginare, però, che un'opera di tal genere esista comunque nella Biblioteca, anche se "spalmata" su un numero di volumi forse diverso (e forse l'ultimo potrebbe essere composto da cento pagine sensate, la fine dell'opera, e poi pagine bianche: ricordiamo che nei caratteri base occorre pensare anche lo spazio, e le pagine bianche si possono intendere come iterazione dello spazio).

Italo Nobile ha pubblicato sulla mia pagina Facebook alcune osservazioni critiche che riporto qui di seguito:

«Non sono d'accordo in quanto la quantità di cose esprimibili non è infinita se e solo se il tempo non è infinito e se e solo se la lunghezza delle stringhe che costituiscono i termini designanti oggetti sia finita. Tu accetti come premesse una certa interpretazione della biblioteca (ad es. in quella di Lasswitz ci sono anche le opere letterarie che attualmente non significano niente, ma nessuno può dire che non significhino qualcosa) e soprattutto neghi che ci possono essere serie infinite di segni a designare oggetti. In realtà con i segni a nostra disposizione possiamo designare infiniti oggetti dal momento che abbiamo i numeri. Questa tesi parte dal numero finito di segni e dal numero finito di pagine di un libro per inferire qualcosa sull'universo. Ma ciò significa mettere il carro davanti ai buoi. L'unica cosa che potremmo dire è che, nel caso di universo infinito (o con un numero infinito di oggetti) ad un certo punto ci potremmo trovare nella situazione per cui dobbiamo considerare degli oggetti nuovi come copie di oggetti già visti».

Provo a rispondere, o comunque a commentare a mia volta quanto dice Italo.

Sulla prima osservazione, che ipotizza un tempo infinito nel quale si possano esprimere cose infinite, direi questo: se partiamo dall'ipotesi di un tempo infinito nel quale esista una produzione infinita di testi significanti, resta il fatto che a un certo punto, esaurite le combinazioni possibili di tutti i segni entro un certo formato (numero di caratteri per pagina, numero di pagine per testo) siamo destinati a ripetere le stesse cose, quindi per quanto infinita la Biblioteca sarà ripetitiva, modulare...

Sulla "lunghezza delle stringhe" dei termini designanti mi vengono in mente i numeri irrazionali... Cosa analoga Italo dice più sotto quando ipotizza "serie infinite di segni a designare oggetti", e "con i segni a nostra disposizione possiamo designare infiniti oggetti dal momento che abbiamo i numeri."

In effetti qui mi pare che Italo colga un punto cruciale: nel paradosso della Biblioteca di Babele i numeri non sono considerati, ed è vero che i numeri sono di per sé intrisi di infinito, infinito stratificato, fra l'altro, a diversi livelli di potenzialità (come Cantor ci ha rivelato con la teoria dei numeri transfiniti). Resta il fatto che il linguaggio matematico ha un modo diverso di rapportarsi con la realtà rispetto al linguaggio verbale, e forse addirittura si potrebbe dire che il linguaggio matematico descrive, direttamente, oggetti "di altro tipo" rispetto alle cose fisiche, anche se ovviamente è fondamentale per la conoscenza del mondo fisico nel senso che descrive indirettamente situazioni e rapporti fra cose fisiche...

È vero che sono partito da una certa interpretazione della Biblioteca, ma ci tengo a chiarire bene un punto sul quale ho riflettuto molto. Il fatto che si ipotizzi un numero finito di segni grafici, che corrispondono a un numero finito di fonemi (e parliamo di linguaggio verbale) si fonda sulla realtà dei linguaggi naturali e anche sulla struttura dell'apparato vocale umano. Non possiamo produrre infiniti tipi di suoni. Il fatto che si prenda in considerazione un numero finito di righe/pagine di un testo non implica che si metta un limite fisso alla lunghezza di un testo, infatti un testo può essere espresso in più volumi della Biblioteca, ma significa che si considerano, nel paradosso, testi di senso compiuto, cioè testi finiti, per quanto lunghi possano essere.

L’ipotesi di un testo infinito (su cui Borges ha costruito un altro racconto, Il libro di sabbia) cade perché tale testo non avrebbe un senso determinabile, quindi non avrebbe senso.

Infine, all'obiezione di "mettere il carro davanti ai buoi" se partiamo da considerazioni sul linguaggio per arrivare a tesi sulla realtà, rispondo che è un procedimento tipico della filosofia, nelle sue aspirazioni metafisiche. Da Platone e Aristotele fino a Wittgenstein... non abbiamo sempre fatto così? (Del resto il linguaggio è esso stesso un "pezzo" di realtà. Una proposizione è un fatto che esprime un altro fatto…)

4. Conclusioni

Negare l'infinito reale, nella realtà fisica, equivale a credere nella conoscibilità, nella comprensibilità del mondo.

Perché dobbiamo credere all’ipotesi immaginativo-metafisica della Biblioteca di Babele? (cioè l’ipotesi che la quantità di ciò che è dicibile, esprimibile attraverso il linguaggio, sia finita.)

Perché un libro deve avere un numero di pagine finito? O anche: perché una frase non può essere infinita? Perché altrimenti il suo senso non sarebbe, per principio, comprensibile. Potremmo capirne solo le singole parti, ma non il tutto. Ma un senso incomprensibile equivale a una assenza di senso.

Resta sempre comunque pensabile, possibile, che la realtà (fisica) sia invece nel complesso inconoscibile, incomprensibile, quindi resta sempre possibile che sia infinita e senza senso.

Ma perché qualcosa che è, di fatto, conoscibile nelle sue singole parti dovrebbe essere inconoscibile nell'insieme? Noi abbiamo già sperimentato la conoscibilità di parti della realtà, quindi abbiamo ragionevoli motivi di credere che la realtà sia conoscibile e sensata anche nella sua totalità, quindi che sia finita.